boa tarde, não estou conseguindo fazer duas questões conseguem me ajudar ?
Bom dia, Natalie!
A primeira questão solicita que você encontre uma base para o subespaço \(W=\left\{\begin{pmatrix}a+3b+2c\\5a+8b+3c\\7a+5b-2c\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3: a,b,c\in\mathbb{R}\right\}\) de \(\mathbb{R}^3\). Portanto, vamos encontrar um conjunto gerador e depois verificar que esse conjunto é L.I.. A melhor maneira para encontrar um gerador é separar as variáveis \(a\), \(b\) e \(c\) em uma soma com três vetores, cada um contendo apenas uma variável.
\(W=\left\{\begin{pmatrix}a+3b+2c\\ 5a+8b+3c\\ 7a+5b-2c\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3: a,b,c\in\mathbb{R} \right\}\\ W=\left\{\begin{pmatrix}a\\ 5a\\ 7a \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 3b\\ 8b\\ 5b \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2c\\ 3c\\ -2c \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^3: a,b,c\in\mathbb{R} \right\}\\ W=\left\{ a\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 7 \end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 8\\ 5 \end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ -2 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^3: a,b,c\in\mathbb{R}\right\}\\ W=span\left\{\begin{pmatrix}1\\ 5\\ 7\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -2\end{pmatrix}\right\}\)
Logo, conseguimos achar que o conjunto \(G=\left\{\begin{pmatrix}1\\ 5\\ 7\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -2\end{pmatrix}\right\}\) é um gerador para \(W\). Portanto, resta verificar se ele é linearmente independente, então, seja a combinação linear do vetor nulo abaixo:
\(\alpha\cdot\begin{pmatrix}1\\ 5\\ 7\end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 5\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \)
Se esse sistema for possível e determinado, o conjunto \(G\) é linearmente independente. Por outro lado, se o sistema for possível e indeterminado, o conjunto \(G\) é L.D.:
\(\alpha\cdot\begin{pmatrix}1\\ 5\\ 7\end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 5\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
\alpha+3\beta+2\gamma\\
5\alpha+8\beta+3\gamma\\
7\alpha+5\beta-2\gamma
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\\
\left\{\begin{matrix}
\alpha+3\beta+2\gamma=0\\
5\alpha+8\beta+3\gamma=0\\
7\alpha+5\beta-2\gamma=0
\end{matrix}\right.\\
\left[\begin{matrix}
1&3&2\\
5&8&3\\
7&5&-2
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]\begin{matrix}\\ L_2\leftarrow -5\cdot L_1+L_2\\ L_3\leftarrow -7\cdot L_1+L_3\end{matrix}\\
\left[\begin{matrix}
1&3&2\\
0&-7&-7\\
0&-16&-16
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]\begin{matrix}\\ L_2\leftarrow -\frac{1}{7}\cdot L_2\\ L_3\leftarrow \frac{1}{16}\cdot L_3\end{matrix}\\
\left[\begin{matrix}
1&3&2\\
0&1&1\\
0&-1&-1
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]\begin{matrix}\\ \\ L_3\leftarrow L_2+ L_3\end{matrix}\\
\left[\begin{matrix}
1&3&2\\
0&1&1\\
0&0&0
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right] \)
Observe que esse sistema é possível e indeterminado, portanto, G é L.D.. Desse modo, uma base para \(W\) consiste em um ou dois vetores que estão em \(G\). Consideramos, então, \(B=\left\{\begin{pmatrix}1\\ 5\\ 7\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 5\end{pmatrix}\right\}\). Novamente, \(B\) é um gerador para \(W\) e resta verificar que \(B\) é linearmente independente e ele será (verifique). Portanto, \(B\) é um gerador para \(W\) e \(B\) é linearmente independente, logo \(B\) é uma base para \(W\).
A segunda questão pede uma base e a dimensão de \(W=\left\{\begin{bmatrix}x& y\\ z& w \end{bmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}):y=z\right\}\). Portanto, devemos novamente encontrar um gerador e verificar se ele é linearmente independente.
\(W=\left\{\begin{bmatrix}x& y\\ z& w \end{bmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}):y=z\right\}\\ W=\left\{\begin{bmatrix} x& y\\ y& w\end{bmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}):x,y,w\in\mathbb{R}\right\}\\ W=\left\{\begin{bmatrix} x& 0\\ 0& 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0& y\\ y& 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0& 0\\ 0& w\end{bmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}):x,y,w\in\mathbb{R}\right\}\\ W=\left\{x\cdot\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 0\end{bmatrix}+y\cdot\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1& 0\end{bmatrix}+w\cdot\begin{bmatrix} 0& 0\\ 0& 1\end{bmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}):x,y,w\in\mathbb{R}\right\}\\ W=span\left\{\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1& 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0& 0\\ 0& 1\end{bmatrix}\right\}\)
Logo, \(B=\left\{\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1& 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0& 0\\ 0& 1\end{bmatrix}\right\}\) é um gerador para \(W\). Como \(B\) é L.I., \(B\) é uma base para \(W\). Desse modo, a dimensão de \(W\) é o número de elementos de uma base, como \(B\) é base, segue que \(\text{dim}W=3\).
Espero ter ajudado!